Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Sistem Pertidaksamaan dua varibel linear – kuadrat dan kuadrat - kuadrat, sebaiknya ingat kembali materi persamaan garis lurus dan grafiknya serta fungsi kuadrat dan cara menggambar grafiknya. Karena Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang kita sajikan dalam bentuk daerah arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian), maka kita harus terbiasa dulu dalam menggambar grafiknya.
Penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan adalah semua himpunan titik (x,y) yang memenuhi semua pertidaksamaan pada sistem tersebut. Jika nilai x dan y yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga penyelesaiannya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel :
1). Gambarlah grafik masing-masing fungsi.
2). Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan cara uji sembarang titik.
3). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dan merupakan irisan dari setiap daerah arsiran pertidaksamaan.
1. Sistem Pertidaksamaan dua variabel linear – kuadrat
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat:
ax + by ≤, <, ≥, atau > c
px2 + qx + ry ≤, <, ≥, atau > s
px2 + qx + ry ≤, <, ≥, atau > s
Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12
Penyelesaian :
langkah 1) Menggambar grafik persamaan garis 2x + 3y = 12
Grafik persamaan garis 2x + 3y = 12 dapat digambarkan dengan langkah sebagai berikut:
1. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x.
Titik potong grafik dengan sumbu x terjadi jika y = 0, maka diperoleh
2x + 3.0 = 12
2x + 0 = 12
2x = 12
x = 6
Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (6,0)
2. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu y,
Titik potong grafik dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka diperoleh
2.0 + 3y = 12
0 + 3y = 12
y = 4
Jadi titik potong dengan simbu y adalah (0,4)
langkah 2) Uji titik (0,0)
Substitusikan titik (0,0) pada 2x + 3y ≥ 12, maka diperoleh
2x + 3y ≥ 12
2.0 + 3.0 ≥ 12
0 ≥ 12,
0 ≥ 12 merupakan suatu pernyataan yang salah, maka daerah yang memuat titik (0,0) bukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Jadi daerah himpunan penyelesaian dari 2x + 3y ≥ 12 adalah sebagai berikut :
Keterangan : Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian 2x + 3y ≥ 12, artinya semua titik (x,y) yang ada pada daerah arsiran merupakan anggota penyelesaian dari 2x + 3y ≥ 12,
Contoh 2.
Tentukan Himpunan penyelesaian dari y ≤ − x2 + 5x + 6
Penyelesaian :
langkah 1) Menggambar grafik fungsi kuadrat y = − x2 + 5x + 6
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrata y = − x2 + 5x + 6 langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x.
Titik potong dengan sumbu x terjadi jika y = 0. Jika y = 0, maka diperoleh
0 = − x2 + 5x + 6
0 = − (x2 − 5x − 6)
0 = − (x + 1) ( x − 6)
x = −1 ∨ x = 6.
Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (−1,0) dan (6,0)
2. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu y.
Titik potong dengan sumbu y terjadi jika x = 0. Jika x = 0, maka diperoleh
y = − 02 + 5.0 + 6
y = 6
Jadi titik potong dengan simbu y adalah (0,6)
3. Tentukan titik puncak grafik dengan rumus 
Fungsi kuadrat y = −x2 + 5x + 6 memiliki nilai a = -1, b = 5, dan c = 6, maka diskriminannya adalah 
Titik puncak grafik di atas adalah
dan
Titik puncak grafik di atas adalah
4. Nilai a pada y = −x2 + 5x + 6 adalah -1, maka grafik terbuka ke bawah.
langkah 2) Uji titik
· Substitusi titik uji yaitu (0,0) ke y ≤ −x2 + 5x + 6, maka
0 ≤ −02+5.0+6
0 ≤ 6 (BENAR)
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) adalah sebagai daerah penyelesaian, sehingga penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah daerah di dalam kurva parabola.
·
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
2x + 3y ≥ 12
2x + 3y ≥ 12
y ≤ −x2 + 5x + 6
Penyelesaian :
· Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
·
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
2x + 3y ≥ 12
-x2 + 5x + 6 ≤ y
2x + 3y ≥ 12
-x2 + 5x + 6 ≤ y
Penyelesaian :
Pertama kita gambar daerah penyelesaian untuk 2x + 3y ≥ 12.
Caranya seperti pada contoh soal no.1)
Gambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12 sebagai berikut :
Kedua kita gambar daerah penyelesaian untuk -x2 +5x+6 ≤ y.
Caranya seperti pada contoh soal no. 2).
Gambar daerah penyelesaian -x2 +5x+6 ≤ y sebagai berikut :
Selanjutnya kita gabungkan kedua gambar di atas pada satu
sistem koordinat.
Daerah irisan yang memenuhi keduanya adalah merupakan
daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
2x + 3y ≥ 12
-x2 + 5x + 6 ≤ y
Jadi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah :
2. Sistem Pertidaksamaan dua variabel kuadrat – kuadrat
Bentuk umum sistem pertidaksamaan kuadrat dan kuadrat:
ax2 + bx + cy ≤, <, ≥, atau > f
Contoh soal :
1) Tentukan Himpunan penyelesaian dari y ≥ x2 + x − 6
Penyelesaian :
· Kita gambar dulu grafik y = x2 + x − 6 :
titik potong dengan sumbu x terjadi jika y = 0,
titik potong dengan sumbu x terjadi jika y = 0,
maka x2 + x − 6 = 0
(x−2)(x+3) = 0
x = 2 ∨ x = −3.
Jadi titik potongnya (-3,0) dan(2,0)
· titik potong dengan sumbu y terjadi jika x = 0,
maka y = 02+0−6
y = -6
jadi titik potongnya (0,-6)
· Nilai a=1, maka grafik fungsi kuadrat y=x2+x−6 terbuka ke atas.
· Substitusi titik uji yaitu (0,0) ke y ≥ x2 + x − 6
maka 0 ≥ 02+0−6
maka 0 ≥ 02+0−6
0 ≥ −6 (BENAR)
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) adalah benar sebagai daerah penyelesaiannya, sehingga penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah daerah di dalam kurva parabola.
· Berikut himpunan penyelesaiannya :
2) Tentukan Himpunan penyelesaian dari y ≤ −x2+1
Penyelesaian :
· Kita gambar dulu grafik y = -x2 + 1 :
titik potong dengan sumbu x terjadi jika y = 0,
titik potong dengan sumbu x terjadi jika y = 0,
maka -x2+1 = 0
x2 = 1
x = 1 V x = -1
Jadi titik potongnya (-1,0) dan(1,0)
· titik potong dengan sumbu y terjadi jika x = 0,
maka y = -02+1
y = 1
jadi titik potongnya (0,1)
· Nilai a = -1, maka grafik fungsi kuadrat y=-x2+1 terbuka ke bawah.
· Substitusi titik uji yaitu (0,0) ke y ≤ -x2 + 1
maka 0 ≤ -02+1
maka 0 ≤ -02+1
0 ≤ 1 (BENAR)
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) adalah benar sebagai daerah penyelesaian, sehingga penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah daerah di dalam kurva parabola.
· Berikut daerah himpunan penyelesaiannya :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
y ≤ -x2 + 1
Penyelesaian :
· Ikuti penyelesaian pada no. 1) dan No.2) di atas.
· Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah irisan yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
· Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah irisan yang diminta yang memenuhi keduanya adalah
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
y ≤ x2 + x – 6
y ≤ -x2 + 1
Penyelesaian :
Pertama kita gambar daerah penyelesaian untuk y ≤ x2 + x – 6.
Caranya seperti pada contoh soal no.1)
Gambar daerah penyelesaian y ≤ x2 + x – 6 sebagai berikut :
Kedua kita gambar daerah penyelesaian untuk y ≤ -x2 + 1.
Caranya seperti pada contoh soal no. 2).
Gambar daerah penyelesaian y ≤ -x2 + 1 sebagai berikut :
Selanjutnya kita gabungkan kedua gambar di atas pada satu
sistem koordinat.
Daerah irisan yang memenuhi keduanya adalah merupakan
daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
y ≤ x2 + x – 6
y ≤ -x2 + 1
Jadi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah :
terima kasih!
BalasHapusSama_sama
HapusTerima kasih bermanfaat sekali
BalasHapusterimakasiiii
BalasHapusterimakasiiii
BalasHapus