LIMIT FUNGSI ALJABAR

 

Pada saat membahas materi tentang fungsi, kita telah mempelajari bagaimana menentukan nilai fungsi f(x) di x = a. 

Sebagai contoh,

    Diketahui 

    Untuk x = -1 diperoleh f(-1) = 1. Untuk x = 1 diperoleh f(1) = 3. 

    Berapakah nilai f(x) untuk x = 0?

Ternyata, kita tidak dapat menentukan nilai f(x) di x = 0, sebab pembagian bilangan hanya terdefinisi jika pembagi tidak sama dengan 0. Akan tetapi, kita masih dapat mempelajari bagaimana nilai f(x) jika x mendekati 0 dengan menggunakan konsep limit.

A.   PENGERTIAN DAN NOTASI LIMIT

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Egy hampir saja mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dsb. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

 

Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. 

Notasi 

        

dibaca sebagai “limit fungsi f(x) dimana x mendekati a sama dengan L”, dan diartikan sebagai “ jika x mendekati a, maka f(x) mendekati L”

Teorema :

Misalkan f suatu fungsi serta L dan a adalah bilangan real, maka

        

      Teorema di atas dapat  diartikan bahwa “Suatu limit dikatakan nilainya ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama."

      Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan dengan

                

      Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan dengan 

                

Untuk lebih memahaminya perhatikan uraian berikut.

 

B.   PENGERTIAN LIMIT SECARA INTUITIF

Masalah 1.

Selidiki apakah nilai   

      

ada atau tidak ada?. Jika ada berpakah nilainya?

    

Pembahasan

·      Untuk x mendekati 3 dari kiri

Perhatikan tabel berikut :

        Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas dapat disimpulkan bahwa

   o  Jika x mendekati 3 dari kiri, maka nilaiakan  mendekati 6

        atau ditulis dengan notasi limit sebagai 

                                  .... (limit kiri)

 

   ·       Untuk x mendekati 3 dari kanan

       Perhatikan tabel berikut :

        Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas dapat disimpulkan bahwa

   o  Jika x mendekati 3 dari kanan, maka nilai akan  mendekati 6

        atau ditulis dengan notasi limit sebagai 

                                    .... (limit kanan)

        Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh 

              

        atau limit kiri = limit kanan, 

        sehingga nilai ada, yaitu 6 , 

        atau ditulis sebagai

     Soal latihan 1 – (tugas BDR 1)

     Selidikilah apakah nilai limit berikut ada atau tidak. Jika ada tentukan nilainya.

1. 
2.  .    

C.   MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI

Setelah mengetahui cara mengetahui apakah suatu fungsi limitnya ada atau tidak secara intuitif, maka selanjutnya kita akan bahas bagaimana cara menentukan nilai limit suatu fungsi, khusunya limit fungsi aljabar. Namun demikian kita akan lihat dulu sifat-sifat limit sebagai berikut.

Sifat-sifat Limit Fungsi

 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

        CONTOH. 0

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

        

        Pada prinsipnya penyelesaian limit suatu fungsi adalah dengan cara substitusi. 

        Jika dengan substitusi diperoleh bentuk tertentu, maka proses selesai dan 

        nilainya adalah bentuk tertentu tersebut.  Setiap bilangan real adalah 

        merupakan bentuk tertentu.

        

        Sementara jika dengan substitusi diperoleh bentuk tak tentu, seperti

        

        maka kita perlu melanjutkannya dengan cara lain, seperti memfaktorkan, mengalikan dengan sekawan                          

pembilang atau sekawan penyebut, atau membagi dengan pangkat tertinggi sedemikian hingga didapatkan bentuk yang paling sederhana. Setelah itu kembali menggunakan cara substitusi.

  

  Perhatikan bagan berikut ini.

Berikut diberikan contoh-contoh cara menyelesaikan limit fungsi aljabar. 

CONTOH. 1

Tentukan nilai dari

Jawab:

Substitusikan  x = 2, diperoleh

Jadi 

   

        CONTOH. 2

 Tentukan nilai dari

Jawab:

Substitusikan  x = 1, diperoleh

   Jadi

 

  

        CONTOH. 3

    Tentukan nilai dari

Jawab:

           

Jadi

 

CONTOH. 4

    Tentukan nilai dari

Jawab: 

substitusi x = -3, diperoleh

   Jadi 

CONTOH 5.

Tentukan nilai dari

 
Jawab:

Substitusi  x =0, diperoleh

Jadi 

 

 

Soal Latihan 2 – Tugas PTMT 1

Hitung nilai limit berikut

1. 
2. 
3.     
4.     
5.    

Selain dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan faktor sekawannya, ada cara lain untuk menentukan nilai limit fungsi, khusunya fungsi yang sulit untuk difaktorkan atau dikalikan dengan faktor sekawannya.

CONTOH 6.

Tentukan nilai dari 

Jawab :

Jika dilakukan dengan substitusi maka diperoleh bentuk tak tentu dan itu bukanlah jawaban dari soal di atas. Untuk mendapatkan jawabannya bisa dilakuka dengan cara sebagai berikut:

  

                     

CONTOH 7.

Masalah kontekstual

Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0,25 t² + 0,5 t cm².

Tentukan kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit.

Jawaban:

Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu dan dapat dirumuskan sebagai

 

Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah

CONTOH 8.

 

Jika

tentukan nilai dari

Jawab :

CONTOH 9.

 

Jika

tentukan

Jawab.

Soal Latihan 3 – Tugas BDR 3

1.   Tentukan nilai dari  

2.   Jika tentukan nilai dari 

      

3.   Jika  tentukan nilai