Perhatikan masalah berikut:
Masalah 1
Dari angka-angka 1,2,3,4,5,dan 6 akan disusun bilangan terdiri dari 3 angka. Ada berapa banyak bilangan yang bisa dsusun?
Masalah 2
Dari 6 butir soal kuis matematika seorang siswa hanya diminta mengerjakan 3 butir soal yang dianggap mudah. Ada berapa banyak pilihan soal yang dimiliki siswa?
Untuk menjawab kedua masalah di atas maka terlebih dahulu kita harus mengetahui perbedaan kedua masalah tersebut.
Pada masalah 1:
Jika kita ambil misalnya angka 1,2,dan 3 dari angka-angka yang tersedia, lalu kita coba susun bilangan 123, 132, 213, 231, 312, 321. Perhatikan bahwa ternyata unsur penyusun bilangan itu sama, yaitu terdiri dari angka 1,2,dan 3. Tapi bagaimana dengan nilainya apakah sama? Tentu tidak bukan. Ternyata yang mempengaruhi nilai dari bilangan tersebut bukanlah unsurnya melainkan adalah urutan dari angka-angka itu. Dengan demikian 123 berbeda dengan 132, demikian juga dengan 213, 231, 312, maupun dengan 321. Jadi pada permasalahan ini urutan menjadi hal yang penting untuk diperhatikan.
Perhatikan masalah 2 :
Jika misalnya seorang siswa mengerjakan soal no. 1, lalu no, 4, dan kemudian no. 6. Sementara ada siswa lain mengerjakan soal no.1, lalu no. 6, terakhir no. 4. Siswa lainnya lagi mengerjakan soal no. 4, lalu no. 1, dan terakhir no. 6. Siswa lainnya lagi mengerjakan soal no. 4, lalu no. 6, dan terakhir no. 1. Bagaimana menurut kalian apakah soal yang dikerajakan oleh keempat siswa itu sama? Ya, Tentu saja soal yang dikerjakan oleh keempat siswa tersebut adalah sama walaupun urutan pengerjaannya berbeda-beda. Jadi pada permasalahan ini urutan tidaklah penting.
Berdasarkan penjelasan di atas, masalah 1 dengan masalah 2 berbeda dalam masalah urutan. Masalah 1 memperhatikan urutan sementara masalah 2 tidak memperhatikan urutan.
Terkait dengan urutan, maka kita mengenal kaidah pencacahan yang disebut dengan permutasi dan Kombinasi.
Permutasi adalah suatu aturan pencacahan/penyusunan objek dengan memperhatikan urutan. Sementara kombinasi adalah suatu aturan pencacahan/ penyusunan objek yang tidak memperhatikan urutan.
PERMUTASI
contoh 1.
Dari angka-angka 1,2,3,4,5,dan 6 akan disusun bilangan terdiri dari 3 angka. Ada berapa banyak bilangan yang bisa dsusun?
Jawab.
Dari masalah itu n = 6 dan r = 3, maka banyaknya bilangan yang bisa disusun adalah
Catatan: soal ini pernah dijawab menggunakan kaidah penggandaan. Silahkan dilihat lagi kaidah penggandaan.
Contoh 2.
Dari 8 orang panitia akan dipilih 3 orang sebagai pengurus, yaitu sebagai ketua, sekertaris, dan bendahara. Berapa banyak cara memilih ketiga orang pengurus tersebut?
Jawab.
Masalah ini adalah masalah permutasi. Kenapa?
n = 8 dan r = 3, maka banyak cara memilih ketiga pengurus tersebut adalah
Dari 8 huruf berbeda akan disusun kata terdiri dari 5 huruf. Ada berapa kata yang bisa disusun.
Jenis-jenis Permutasi
1. Permutasi siklis (melingkar)
4 orang konsumen warung makan akan duduk mengelilingi sebuah meja secara melingkar. Dengan berapa cara keempat orang konsumen itu dapat duduk mengelilingi meja?
Masalah ini berbeda dengan masalah permutasi sebelumnya. Jadi masalah ini tidak bisa kita selesaikan dengan rumus permutasi yang sudah dibahas di atas.
Untuk menentukan banyaknya susunan tempat duduk berbeda untuk 4 orang yang duduk melingkar dapat kita mulai dengan menentukan salah satu tempat duduk sebagai acuan. Sehingga tersisa 3 tempat duduk yang lainnya.
Dari 3 tempat duduk tersebut, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah
ú banyaknya kemungkinan orang menduduki kursi 1 ada 3 cara
ú banyaknya kemungkinan orang menduduki kursi 2 ada 2 cara
ú banyaknya kemungkinan orang menduduki kursi 3 ada 1 cara
Dengan menerapkan konsep kaidah penggandaan maka diperoleh banyaknya susunan menempati tempat duduk secara melingkar adalah
= 3 x 2 x 1
= 6 cara.
Jadi banyaknya cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja ada 6 cara.
Jika kita misalkan keempat orang tersebut adalah A, B, C, dan D maka gambaran kemungkinan posisi tempat duduk mereka adalah sebagai berikut:
Secara umum rumus permutasi siklik dari n objek adalah:
Dengan rumus tersebut maka masalah 3 di atas dapat diselesaikan sebagai berikut
Jadi banyaknya cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja ada 6 cara.
Soal CKS 2.(Coba Kerjakan Sendiri)
Bagaimana jika banyaknya konsumen yang duduk mengelilingi meja itu sebanyak 6 orang? anda bisa kan menetukan berapa banyaknya cara keenam orang tersebut dapat duduk mengelilingi meja?
2. Permutasi dari beberapa unsur yang sama
Perhatikan 2 masalah berikut
Masalah 4.
Berapa banyak kata yang bisa disusun dari huruf-huruf yang ada pada kata “MATERI”?
Berapa banyak kata yang bisa disusun dari huruf-huruf yang ada pada kata “MATEMATIKA”?
Pertama, kita lihat apa perbedaan masalah 4 dengan masalah 5? Ada yang tahu? Ya , pada masalah 4 pada kata MATERI tidak ada huruf yang sama atau unsur yang sama, sedangka pada kata MATEMATIKA ditemukan unsur-unsur yang sama. Karena perbedaan itu maka penyelesaian kedua masalah di atas juga menjadi berbeda.
Pada masalah 4 kita akan menyusun 6 huruf dari 6 huruf berbeda. Persoalan ini mirip dengan permutasi r unsur dari n unsur yang sudah di bahas di awal. Maka penyelesaian masalah 4 adalah sebagai berikut
Dengan r = 6 dan n = 6 serta tidak ada unsur yang sama, maka
Jadi ada sebanyak 720 kata yang bisa disusun dari huruf-huruf yang ada pada kata MATERI.
Lalu bagaimana dengan penyelesaian masalah 5? Pada kata MATEMATIKA ada beberapa unsur yang sama, yaitu M sebanyak 2, A sebanyak 3, dan T sebanyak 2. Huruf yang lainnya masing-masing sebanyak 1. Kita akan menyusun 10 huruf dari 10 huruf dengan huruf yang sama masing-masing sebanyak 2, 3, dan 2. Maka penyelesaian masalah 5 adalah sebagai berikut :
Dengan r = 10 dan n = 10, dengan unsur yang sama masing-masing sebanyak 2,3, dan 2, maka
Dari pembahasan di atas dapat diperoleh :
1). Permutasi r unsur dari n unsur berbeda dengan r = n dirumuskan dengan
2). Permutasi r unsur dari n unsur dengan a unsur yang sama, b unsur yang sama, c unsur yang sama dan seterusnya dirumuskan dengan
Contoh 3.
6 buah buku berbeda akan disusun pada satu baris rak buku. Tentukan banyaknya cara menyusun keenam buku tersebut.
Jawab.
Akan disusun 6 buku dari 6 buku berbeda, maka r = n = 6, sehingga banyaknya cara menyusun keenam buku tersebut adalah
Contoh 4.
10 buku terdiri dari 4 buku matematika, 3 buku IPA, dan 3 buku IPS akan disusun pada satu baris rak buku. Tentukan banyaknya cara menyusun seluruh buku tersebut.
Jawab.
Akan disusun 10 buku dari 10 buku dengan 4 buku matematika (4 unsur yang sama), 3 buku IPA (3 unsur yang sama), dan 3 buku IPS (3 unsur yang sama), maka banyaknya cara menyusun buku tersebut adalah
Soal CKS 3(coba kerjakan sendiri)
Berapa banyak kata dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS”?
KOMBINASI
Seperti yang sudah disampaikan diawal kombinasi adalah suatu aturan pencacahan/ penyusunan objek yang tidak memperhatikan urutan.
Jika r banyak objek pengamatan dan n banyak keseluruhan objek , maka kombinasi r unsur dari n unsur dirumuskan dengan
Contoh 1.
Dari 6 butir soal kuis matematika seorang siswa hanya diminta mengerjakan 3 butir soal yang dianggap mudah. Ada berapa banyak pilihan soal yang dimiliki siswa?
Jawab.
Dari masalah itu diketahui n = 6 dan r = 3, maka banyaknya pilihan soal adalah
Jadi banyak pilihan pengerjaan soal yang dimiliki siswa ada 20.
Contoh 2.
Dari 8 orang pemain bulu tangkis akan dipilih pasangan pemain ganda. Ada berapa banyak pasangan pemain ganda yang bisa dibentuk?
Jawab.
Pemain ganda itu terdiri dari 2 orang, jika seluruh pemain ada 8 orang maka banyak susunan pemain ganda adalah
Contoh 3.
Kepengurus RT terdiri dari 5 orang laki-laki dan 3 orang wanita akan dipilih 4 perwakilan untuk menghadiri rapat di tingkat Kelurahan. Hitung banyak cara memilih jika 4 perwakilan itu terdiri dari 2 orang laki-laki dan 2 orang wanita?
Jawab.
Berarti dalam masalah ini ada dua peristiwa,
peristiwa pertama memilih 2 orang laki-laki dari 5 orang laki-laki, yaitu ada sebanyak
dan peristiwa kedua memilih 2 orang wanita dari 3 orang wanita, yaitu ada sebanyak
Maka banyak cara memilih 4 perwakilan yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan 2 orang wanita
dari 5 orang laki dan dari 3 orang wanita adalah
Soal CKS 4 (Coba kerjakan sendiri)
Suatu arisan dihadiri 7 orang ibu-ibu. Jika Ke tujuh orang ibu-ibu tersebut saling berjabat tangan satu sama lain, hitunglah banyak jabat tangan yang terjadi?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar