Determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau sepanjang kolom. Selain itu determinan juga dapat ditentukan dengan metode sarrus.
Pada video kali ini dibahas mengenai cara menentukan determinan matriks ordo 2x2 menggunakan ekspansi kofaktor. Dalam pembahasannya diawali dengan membedakan matriks singular dan matriks non singular, serta membahas minor dan kofaktor suatu matriks.
Selengkapnya silahkan ikuti pembahasannya pada video berikut ini.
Determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau sepanjang kolom. Selain itu determinan juga dapat ditentukan dengan metode sarrus. Dengan menggunakan metode Sarrus perhitungan determinan menjadi lebih sederhana dan mudah.
Pada video kali ini dibahas mengenai cara mendapatkan bentuk sederhana perhitungan determinan matriks ordo 2x2. Bentuk sederhana atau rumus sederhana ini kemudian seringkali disebut dengan metode Sarrus.
Selengkapnya silahkan ikuti pembahasannya pada tayangan video berikut ini. Sebelum mengikuti tayangan video ini, sebaiknya ikuti terlebih dadulu tayangan video Menentukan Determinan Matriks Ordo 2x2 Menggunakan Ekspansi Kofaktor. agar tidak gagal paham.
Determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau sepanjang kolom. Selain itu determinan juga dapat ditentukan dengan metode sarrus.
Pada video kali ini dibahas mengenai cara menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan ekspansi kofaktor, Dengan cara ini maka harus dipahami terlebih dahulu mengenai minor dan kofaktor. Minor dan kofaktor suatu matriks sudah dibahas pada video Menentukan Determinan Matriks Ordo 2x2 menggunakan ekspansi Kofaktor. Selanjutnya pembahasan mengarah pada perhitungan menggunakan metode sederhana atau yang biasa disebut metode Sarrus.
Selengkapnya silahkan ikuti pembahasannya pada video berikut ini.
Tahap akhir dari penyelesaian masalah program linear adalah menentukan nilai optimal. Nilai optimal suatu masalah program lienar dapat ditentukan meggunakan metode titik pojok atau menggunakan metode garis selidik.
Nilai optimal dapat berupa nilai maksimum atau berupa nilai minimum. Jika masalah program linear terkait dengan masalah keuntungan, maka nilai optimalnya berupa nilai maksimum. Sedangkan jika terkait dengan masalah pengeluaran biaya, maka nilai optimalnya berupa nilai minimum,
Selengkapnya silahkan ikuti tayangan pada video berikut ini.
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita berhadapan dengan suatu kejadian yang belum pasti atau suatu kemungkinan. Nilai kejadian yang belum pasti atau nilai kemungkinan dari suatu kejadian disebut dengan peluang (Probabilitas). Peluang merupakan nilai perbandingan antara banyaknya suatu kejadian dengan nilai seluruh kejadian yang mungkin terjadi dari suatu peristiwa atau percobaan. Seluruh kejadian yang mungkin terjadi dari suatu peristiwa atau percobaan disebut sebagai Ruang Sampel.
Jika X suatu kejadian dan S ruang sampel maka Peluang kejadian X adalah
dengan n(x) banyaknya kejadian X dan n(S) banyaknya anggota ruang sampel.
Peluang kejadian majemuk merupakan peluang dengan kejadian yang terjadi lebih dari satu kejadian. Ada 4 macam kejadian majemuk, yaitu :
1. Kejadian Saling Lepas
Perhatikan diagram berikut!
Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian saling lepas jika kejadian A dan kejadian B tidak memiliki irisan atau tidak memiliki anggota yang sama. Dengan kata lain, kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling lepas apabila A ꓵ B = { } atau n(A ꓵB) = 0. Pada kejadian saling lepas berlaku : P(A U B) = P(A) + P(B)
Contoh 1.
Pada pelemparan 2 koin secara bersamaan, tentukan Peluang munculnya satu gambar atau muncul 2 gambar.
Penyelesaian
Pada pelemparan 2 koin sebanyak 1 kali, maka ruang sampelnya adalah S ={AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4
Misalkan A adalah kejadian muncul satu gambar, maka A = {AG, GA} dan n(A) = 2
Misalkan B adalah kejadian muncul dua gambar, maka B = {GG} dan n(B) = 1
Perhatikan bahwa A dan B tidak memiliki unsur yang sama, sehingga AꓵB={ } atau n(AꓵB) = 0, maka kedua kejadian merupakan kejadian saling lepas.
Dengan demikian peluang munculnya 1 gambar atau muncul 2 gambar adalah
Contoh 2.
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan Peluang munculnya jumlah mata dadu 5 atau muncul jumlah mata dadu 8.
Penyelesaian
Pada pelemparan dua buah dadu, ruang sampelnya dapat disajikan pada tabel berikut
| DADU 2 | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
DADU 1
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) | |
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) | |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | |
5 | (5,1) | (5,2) | (53) | (5,4) | (5,5) | (5,6) | |
6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) | |
dengan n(S) = 36.
Misalkan A adalah kejadian muncul jumlah mata dadu 5, maka A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} dan n(A) = 4
Misalkan B adalah kejadian muncul jumlah mata dadu 8, maka B = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} dan n(B) = 5
Karena A ꓵ B = { } atau n(A ꓵ B) = 0, maka kedua kejadian merupakan kejadian saling lepas, sehingga peluang munculnya jumlah mata dadu 5 atau muncul jumlah mata dadu 8 adalah
Soal latihan 1
2. Kejadian Tidak Saling Lepas
Perhatikan diagram berikut!
Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian tidak saling lepas jika kejadian A dan kejadian B memiliki irisan atau memiliki anggota yang sama.Dengan kata lain, kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian tidak saling lepas apabila (AꓵB) ≠ { } atau n(AꓵB) ≠ 0.
Pada kejadian tidak saling lepas berlaku :
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ꓵ B)
Contoh 3.
Pada pelemparan 2 koin secara bersamaan, tentukan Peluang kejadian muncul paling sedikit satu gambar atau muncul paling sedikit satu angka.
Penyelesaian
Pada pelemparan 2 koin secara bersamaan, maka ruang sampelnya adalah S ={AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4
Misalkan A adalah kejadian muncul paling sedikit satu gambar, maka
A = {AG, GA, GG} dan n(A) = 3
Misalkan B adalah kejadian muncul paling sedikit satu angka, maka
B = {AG, GA, AA} dan n(B) = 3
Karena ada anggota A yang menjadi anggota B dan juga sebaliknya, sehingga
(A ꓵ B) = {AG, GA}, dan n(A ꓵ B) = 2, maka kedua kejadian merupakan kejadian tidak saling lepas.
Dengan demikian Peluang kejadian muncul paling sedikit satu gambar atau muncul paling sedikit satu angka adalah :
Contoh 4.
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan Peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima < 7 atau muncul jumlah mata dadu bilangan genap < 6
Penyelesaian
Pada pelemparan dua buah dadu, ruang sampelnya dapat disajikan sebagai berikut
| DADU 2 | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
DADU 1
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) | |
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) | |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | |
5 | (5,1) | (5,2) | (53) | (5,4) | (5,5) | (5,6) | |
6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) | |
dan n(S) = 36.
Misalkan A adalah kejadian muncul jumlah mata dadu bilangan prima < 7, maka A = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} dan n(A) = 7
Misalkan B adalah kejadian muncul jumlah mata dadu bilangan genap < 6, maka B = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1)} dan n(B) = 4
Karena ada anggota A yang menjadi anggota B dan juga sebaliknya, sehingga A ꓵ B = {(1,1)}, dan n(A ꓵ B) = 1, maka kedua kejadian merupakan kejadian tidak saling lepas.
Dengan demikian Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu bilangan prima < 7 atau muncul jumlah mata dadu bilangan genap < 6 adalah
Contoh 5.
Jumlah siswa pada suatu kelas adalah 30 orang. 18 orang dari siswa kelas tersebut suka matematika, dan 14 orang suka fisika, serta 6 orang suka keduanya. Jika dari kelas itu diambil 1 orang siswa tentukan :
a. Peluang yang terambil adalah siswa yang suka matematika atau fisika.
b. Peluang yang terambil adalah siswa yang tidak suka kedua-duanya.
Penyelesaian
Dari soal di atas ruang sampelnya adalah seluruh siswa di kelas tersebut yaitu sebanyak 30 orang atau n(S) = 30.
Misalkan M adalah siswa suka Matematika, maka n(M) = 18
Misalkan F adalah siswa suka Fisika, maka n(F) = 14
Ada siswa yang suka keduanya yaitu sebanyak n(M ꓵ F) = 6, maka kedua kejadian merupakan kejadian tidak saling lepas.
Dengan demikian :
a. Peluang kejadian yang terambil adalah siswa yang suka matematika atau fisika adalah :
Alternatif lain.
Masalah di atas dapat disajikan ke dalam Diagram venn berikut
Berdasarkan diagram venn di atas tampak bahwa siswa yang suka Matematika atau Fisika ada 26 orang atau n(M ꓴF) = 26.
Sedangkan siswa yang tidak suka keduanya ada 4 orang atau
Dengan demikian :
a. Peluang kejadian terambil siswa yang suka matematika atau fisika adalah :
b. Peluang kejadian terambil siswa yang tidak suka keduanya adalah
Soal latihan 2
3. Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan kejadian saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A.
Ciri kejadian saling bebas adalah kedua kejadian biasanya berasal dari peristiwa yang berbeda.
Pada kejadian saling bebas berlaku P(A ꓵ B) = P(A).P(B)
Contoh 6.
Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing – masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Tentukan peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II. (Soal Ujian Nasional tahun 2001)
Penyelesaian
Kotak I berisi 5 bola terdiri dari 3 bola merah dan 2 bola putih.
Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, maka banyak anggota ruang sampelnya adalah 
Kotak II berisi 8 bola terdiri dari 3 bola hijau dan 5 bola biru.
Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, maka banyak anggota ruang sampelnya adalah
Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 bola merah dari kotak I, maka
Misalkan B adalah kejadian terambilnya 2 bola biru dari kotak II, maka
Dengan demikian peluang kejadian terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah
Contoh 7.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru. (Soal UN tahun 2005)
Penyelesaian
Kotak berisi 12 bola terdiri dari 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak, maka banyak anggota ruang sampelnya adalah 
Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 bola merah, maka
Misalkan B adalah kejadian terambilnya 1 bola biru, maka
Banyaknya kejadian terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah 
Dengan demikian peluang kejadian terambilnya 2 bola merah dan 1 bola
biru adalah
Contoh 8.
Andi dan Budi mengikuti suatu tes. Peluang Andi dan Budi untuk lulus berturut-turut adalah 0,85 dan 0,6. Tentukan peluang Andi lulus tetapi Budi tidak lulus.
Penyelesaian
Misalkan A adalah peluang Andi lulus, maka P(A) = 0,85, sehingga peluang Andi tidak lulus adalah P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,85 = 0,15
Misalkan B adalah peluang Budi lulus, maka P(B) = 0,6 , sehingga peluang Budi tidak lulus adalah P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4
Dengan demikian peluang Andi lulus tetapi Budi tidak lulus adalah P(A ꓵ Bc) = P(A).P(Bc) = 0,85. 0,4 = 0,34
Soal latihan 3
4. Kejadian bersyarat
Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih dahulu.
Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B.
Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A terjadi terlebih dahulu.
Pada kejadian bersyarat berlaku
Contoh 9.
Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih dan masing-masing bola tersebut diberi label X atau Y. Ada 6 bola merah, dengan 5 bola berlabel X dan 1 bola berlabel Y. Ada 5 bola putih, dengan 3 berlabel X dan 2 berlabel Y. Jika diambil 1 bola secara acak dari kotak tersebut, tentukan peluang kejadian terambil bola hitam bertanda X.
Penyelesaian
Kejadian ini merupakan kejadian bersyarat dimana yang menjadi syaratnya adalah bola bertanda X.
Perhatikan tabel.
Tanda | Merah | Putih | Total |
X | 5 | 3 | 8 |
Y | 1 | 2 | 3 |
total | 6 | 5 | 11 |
Seluruh bola ada 11, maka n(S) = 11
Misalkan A kejadian terambil bola bertanda X. Pada tabel tampak bahwa ada 8 bola bertanda X, maka n(A) = 8, dan
Pada tabel tampak bahwa bola hitam dan bertanda X ada sebanyak 5, maka n(AꓵB) = 5, dan
Dengan demikian peluang kejadian terambil bola hitam bertanda x adalah
Contoh 10.
Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika dari dalam kotak diambil 2 buah bola satu persatu tanpa pengembalian, tentukan peluang kejadian terambil bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua.
Penyelesaian
Pengambilan pertama
Dalam kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih dengan jumlah 10 buah. Jika diambil 1 bola secara acak
Misalkan A kejadian terambil bola merah pada pengambilan pertama, maka 
sehingga
Pengambilan kedua
Karena bola yang sudah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, maka bola dalam kotak sekarang tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih dengan jumlah 9 buah. Jika diambil lagi 1 bola secara acak, maka
Misalkan
sehingga
Misalkan B kejadian terambil bola putih pada pengambilan kedua,
maka peluang kejadian terambil bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua adalah
Soal latihan 4
