Kaidah pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan, diantaranya:
- Kaidah penggandaan,
- Aturan Pengisian Tempat,
- Permutasi, dan
- Kombinasi.
Perhatikan permasalahan berikut:
Masalah 1.
Seorang turis mancanegara akan berwisata ke kota Bogor, Bandung, dan kemudian ke kota Jogyakarta. Dari negara asalnya ia menggunakan pesawat dengan tujuan Jakarta. Jika dari Jakarta ke Bogor pilihan jenis transportasinya ada Sepeda, Minibus, dan Kereta. Lalu dari Bogor ke Bandung pilihan jenis transportasinya ada Motor dan Bis. Sedangkan dari Bandung ke Jogyakarta pilihan jenis tranportasinya ada Bis dan Kereta. Maka ada berapa cara memilih jenis transportasi yang bisa digunakan oleh turis tersebut dari negara asalnya untuk sampai di Jogyakarta?
Permasalahan tersebut bisa digambarkan sebagai berikut:
Jika diuraikan maka kita dapatkan cara memilih jenis transportasi yang digunakan untuk sampai di Jogyakarta sebagai berikut:
- pesawat – sepeda – motor – bis
- pesawat – sepeda – motor – kereta
- pesawat – sepeda – bis – bis
- pesawat – sepeda – bis – kereta
- pesawat – minibus – motor – bis
- pesawat – minibus – motor – kereta
- pesawat – minibus – bis – bis
- pesawat – minibus – bis – kereta
- pesawat – kereta – motor – bis
- pesawat – kereta – motor – kereta
- pesawat – kereta – bis – bis
- pesawat – kereta – bis – kereta
2. menggunakan kaidah penggandaan
Kita bisa memilah masalahnya menjadi empat kejadian, yaitu :
1. Perjalanan dari negara asal turis ke Jakarta, ada 1 cara memilih jenis transportasi yaitu menggunakan pesawat
2. Perjalanan dari Jakarta ke Bogor, ada 3 cara memilih jenis transportasi, yaitu menggunakan sepeda, minibus, atau kereta
3. Perjalanan dari Bogor ke Bandung, ada 2 cara memilih jenis transportasi, yaitu menggunakan motor atau bis
4. Perjalanan dari Bandung ke Jogyakarta, ada 2 cara memilih jenis transportasi, yaitu menggunakan bis atau kereta
Keempat kejadian tersebut merupakan satu kesatuan yang tidak terpisahkan dari kejadian perjalanan dari negara asal sampai ke kota Jogyakarta. Oleh karena itu banyaknya cara memilih jenis transportasi yang bisa digunakan oleh turis tersebut untuk sampai di Jogyakarta bisa diselesaikan sebagai berikut.
Banyak cara (dari negara asal sampai di Jogyakarta)
= banyaknya cara kejadian 1 x banyak cara kejadian 2 x banyak cara kejadian 3 x banyak kejadian 4
= 1 x 3 x 2 x 2
= 12
Jadi banyaknya cara memilih jenis transportasi yang bisa digunakan oleh turis tersebut untuk sampai di Jogyakarta adalah sebanyak 12 cara.
Kaidah yang digunakan dalam penyelesaian di atas disebut dengan kaidah penggandaan.
Jika P adalah suatu kejadian yang merupakan rangkaian dari beberapa kejadian P1, P2, P3, dan seterusnya, sedangkan m1, m2, m3, dan seterusnya adalah banyaknya cara yang bisa terjadi dari kejadian P1, P2, P3, dan seterusnya, maka banyaknya cara terjadinya kejadian P adalah m1 x m2 x m3 x ….
Seorang pemain sepak bola diberikan kebebasan dalam menggunakan kostum untuk sesi latihan. Jika kostum yang diberikan klub meliputi 3 macam kaos, 3 macam celana, 2 macam kaos kaki, 1 macam decker dan 2 macam sepatu, maka dengan berapa cara pemain tersebut bisa memilih kostum untuk sesi latihan.
Jawab:
Kostum sepak bola merupakan pakaian yang dikenakan satu kesatuan yang tidak bisa dipisahkan yang terdiri dari kaos, celana, kaos kaki, decker, dan sepatu.
= banyak cara memilih kaos x banyak cara memilihi celana x banyak cara memilih kaos kaki x banyak cara memilih decker x banyak cara memilih sepatu
= 3 x 3 x 2 x 1 x 2
= 36
Perhatikan permasalahan berikut:
Masalah 2.
Dari 8 orang panitia akan dipilih 3 orang sebagai pengurus, yaitu sebagai ketua, sekertaris, dan bendahara. Berapa banyak cara memilih ketiga orang pengurus tersebut?
Pendekatan 1.
Masalah tersebut bisa kita pilah menjadi 3 kejadian sebagai berikut:
- Pemilihan seorang ketua
- Pemilihan seorang sekertaris
- Pemilihan seorang bendahar
Pemilihan seorang ketua dilakukan dengan memilih 1 orang dari 8 calon, berarti ada 8 cara memilih ketua.
Pemilihan seorang sekertaris dilakukan dengan memilih 1 orang dari 7 calon yang tidak terpilih menjadi ketua, berarti ada 7 cara memilih sekertaris.
Pemilihan seorang bendahara dilakukan dengan memilih 1 orang dari 6 calon yang tidak terpilih menjadi ketua atau sekertaris, berarti ada 6 cara memilih sekertaris.
Dengan menggunakan kaidah penggandaan, maka banyaknya cara memilih ketua, sekertaris, dan bendahara
= banyak cara memilih ketua x banyak cara memilih sekertaris x banyak cara memilih bendahara
= 8 x 7 x 6 cara
= 336 cara
Pendekatan 2.
Kita buat ilustrasi berikut
Sehingga banyaknya cara memilih ketiga orang pengurus tersebut
= 8 x 7 x 6
= 336 cara
Dari angka-angka 1,2,3,5,7, dan 8 akan disusun bilangan terdiri dari tiga angka. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat disusun jika
- Angka boleh berulang
- Angka tidak boleh berulang
Jawab
a. Angka boleh berulang
Dengan demikian banyaknya bilangan terdiri tiga angka yang disusun dari angka-angka 1,2,3,5,7, dan 8 dan boleh berulang ada sebanyak
= 6 x 6 x 6
= 216 bilangan
Dengan demikian banyaknya bilangan terdiri tiga angka yang disusun dari angka-angka 1,2,3,5,7, dan 8 dan tidak boleh berulang ada sebanyak
= 6 x 5 x 4
= 120 bilangan
Berkaitan dengan kaidah pencacahan, ada teknis penulisan perkalian dari serangkaian bilangan asli n. Penulisan perkalian dari serangkaian bilangan asli berurutan ini dinamakan faktorial. Faktorial dilambangkan dengan tanda !.
n ! dibaca “n faktorial”didefinisikan sebagai perkalian bilangan asli mulai dari 1 sampai dengan n atau
selanjutnya tanda “x” kita ganti dengan tanda “.”
n ! = 1.2.3.4. … .(n – 2) . (n – 1) . n
0 ! = 1
1 ! = 1
2 ! = 1.2 = 2
3 ! = 1.2.3 = 6
4 ! = 1.2.3.4 = 24
5 ! = 1.2.3.4.5 = 120
6 ! = 1.2.3.4.5.6
6 ! dapat dinyatakan juga sebagai :
a) 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 2!.3.4.5.6
b) 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 3!.4.5.6
c) 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 4!.5.6
d) 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 5!.6
n ! = (n – 3)!.(n – 2).(n – 1).n
Silahkan coba juga untuk yang lainnya!
Perhatikan contoh berikut:
Hitunglah nilai dari
Tidak ada komentar:
Posting Komentar